Seesaw theorem の証明に関する備忘録

投稿日：2024/9/24

数学

代数幾何学

メモ

森脇，川口，生駒『モーデル–ファルティングスの定理』の 2.6 節「アーベル多様体の基礎事項」の seesaw theorem の証明は少し行間が広いように思えたので，考えたことを記録しておく．以下では FF は標数 0 の体とする．また，FF 上の多様体とは FF 上有限型な整スキームのことである．

定理 1: Seesaw theorem [MKI, 2.18]

X,TX, T を FF 上の絶対既約な代数多様体，LL を X×TX\times T 上の直線束とし，XX は FF 上射影的と仮定する．このとき， T1={t∈T∣L∣X×{t} は自明}T_1 = \left\{t \in T \mid L|_{X\times \{t\}} \text{ は自明}\right\} は TT のザリスキー閉集合である．さらに，T1T_1 に被約部分スキームの構造を入れ，p2 ⁣:X×T1→T1p_2\colon X\times T_1 \to T_1 を射影とすると，ある T1T_1 上の直線束 MM が存在して L∣X×T1≅p2∗ML|_{X\times T_1} \cong p_2^\ast M が成り立つ．

先ず，次の補題が幾度か必要になるので予め引用しておく．

補題 2: Stacks 33.9.3

kk を体，XX を固有 kk スキームとする． 1–6. 略 7. XX が絶対被約かつ絶対連結ならば H0(X,OX)=kH^0(X, \sheaf{O}_X) = k である． 8. XX が絶対整ならば H0(X,OX)=kH^0(X, \sheaf{O}_X) = k である．

完全体上では単なる被約性から絶対被約性が従う (Stacks 33.6.3) ことから，特に今は標数 0 の体 FF 上で考えているので，被約且つ絶対既約ならば絶対整である．これらを用いれば

X×T1→T1X\times T_1 \to T_1 の各ファイバー X×{t}X\times\{t\} 上で LL は自明であるから dim⁡κ(t)H0(X×{t},L∣X×{t})=1\dim_{\kappa(t)} H^0(X\times \{t\}, L|_{X\times\{t\}})=1 である．

という箇所はすぐに導ける．

その後の

自然な射 p2∗M→Lp_2^\ast M \to L (引用者注: M=p2∗LM={p_2}_\ast L．Grauert の定理よりこれは直線束である) は各ファイバー上で自然な射 H0(X×{t},L∣X×{t})⊗OX×{t}→L∣X×{t}H^0(X\times \{t\}, L|_{X\times \{t\}}) \otimes \sheaf{O}_{X\times \{t\}} \to L|_{X\times \{t\}} に一致し，L∣X×{t}L|_{X\times\{t\}} は自明なので p2∗M≅Lp_2^\ast M \cong L となる．

という箇所は次のようにすれば分かる．

先ず，XX は FF 上の射影多様体なので固有でもあり，従って p2 ⁣:X×T1→T1p_2\colon X\times T_1 \to T_1 は固有射なので，Descartes 図式

X×{t}→p2′t↓i′↓iX×T1→p2T1\begin{array}{c} X\times\{t\} & \xrightarrow{p'_2} & t \\ \downarrow{i'} & & \downarrow{i} \\ X\times T_1 & \xrightarrow{p_2} & T_1 \end{array}

に関する固有基底変換定理 (例えば [Va, 25.1.6]) を考えれば

(p2∗p2∗L)∣X×{t}=i′∗p2∗p2∗L≅p2′∗i∗p2∗L(図式の可換性より．)≅p2′∗p2′∗i′∗L(固有基底変換定理より．)=p2′∗p2′∗(L∣X×{t})\begin{align*} (p_2^\ast{p_2}_\ast L)|_{X\times \{t\}} &= {i'}^\ast p_2^\ast{p_2}_\ast L \\ &\cong {p'_2}^\ast i^\ast {p_2}_\ast L \quad(\text{図式の可換性より．})\\ &\cong {p'_2}^\ast {p'_2}_\ast {i'}^\ast L \quad(\text{固有基底変換定理より．})\\ &= {p'_2}^\ast {p'_2}_\ast (L|_{X\times \{t\}}) \end{align*}

が得られる．ここで p2′∗(L∣X×{t}){p'_2}_\ast (L|_{X\times \{t\}}) はアフィンスキーム t=Specκ(t)t = \spec \kappa(t) 上の準連節層なので

p2′∗(L∣X×{t})=H0(t,p2′∗(L∣X×{t}))∼=H0(X×{t},L∣X×{t})∼ {p'_2}_\ast (L|_{X\times \{t\}}) = H^0(t, {p'_2}_\ast (L|_{X\times \{t\}}))^\sim = H^0(X\times \{t\}, L|_{X\times \{t\}})^\sim

である．従って p2′∗p2′∗(L∣X×{t}){p'_2}^\ast {p'_2}_\ast (L|_{X\times \{t\}}) は，スキーム上の層の引き戻しの定義通り考えれば

p2′∗p2′∗(L∣X×{t})=p2′∗H0(X×{t},L∣X×{t})∼=p2′−1H0(X×{t},L∣X×{t})∼⊗p2′−1OtOX×{t}≅H0(X×{t},L∣X×{t})⊗κ(t)OX×{t}\begin{align*} {p'_2}^\ast {p'_2}_\ast (L|_{X\times \{t\}}) &= {p'_2}^\ast H^0(X\times \{t\}, L|_{X\times \{t\}})^\sim\\ &= {p'_2}^{-1}H^0(X\times \{t\}, L|_{X\times \{t\}})^\sim \otimes_{{p'_2}^{-1}\sheaf{O}_t} \sheaf{O}_{X\times\{t\}}\\ &\cong H^0(X\times \{t\}, L|_{X\times \{t\}})\otimes_{\kappa(t)} \sheaf{O}_{X\times\{t\}} \end{align*}

となる．ここで H0(X×{t},L∣X×{t})H^0(X\times \{t\}, L|_{X\times \{t\}}) 及び κ(t){\kappa(t)} は X×{t}X\times \{t\} 上の定数層として考えている．L∣X×{t}L|_{X\times \{t\}} が自明であることと補題 2 を用いればこの層が OX×{t}\sheaf{O}_{X\times\{t\}} と同型であることも分かる．

参考文献