Furusho, p-adic Multiple Zeta Values II — Tannakian Interpretations, 2007

投稿日：2026/5/6

第 2 節

de Rham 基本群については [Del89] の 12 章を読むと良い．
自由 Lie 代数の構成は [Bou72] を参照．
nilpotent isocrystal の圏と nilpotent connection の圏の圏同値の構成は [CLS99, Proposition 2.4.1] を参照．帰納法を回すだけ．なお，この節で定義されていない $\mathcal{V}$ は $K$ の整数環（1.2 の冒頭で定義されている）．
period map $p\colon \pi_1^\mathrm{Bti}(X(\C), \vect{01})\lra \pi_1^\mathrm{dR}(X_\C, \vect{01})$ はただ単に $(-)^\nabla \colon \cat{NVect}^\nabla(X) \lra \cat{NLS}(X(\C))$ という圏同値が誘導する射．これが $p(A)=2\pi iA$ と書ける証明は（論文では簡単に流されているが）次のようにすれば良い．
$X = \mathbb{A}^1_\mathbb{Q} \setminus\{0\}$ として，基点は $1$ とする． $X$ 上のベクトル束 $\mathcal{V} = \mathcal{O}_X^2 = \mathcal{O}_X e_0 \oplus \mathcal{O}_X e_1$ の上の接続 $\nabla$ を $\nabla(e_0) = 0,\quad \nabla(e_1) = \frac{\mathrm{d} z}{z} \otimes e_1$ とすると， $\mathcal{V}^\nabla$ は（局所的に） $1 \otimes e_0$ と $\log(z) \otimes e_1$ が生成する局所系． $\gamma$ を $\pi_1^\mathrm{top}(X,1)$ の生成元（原点の周りを正の向きに一周する道）とすると， $\gamma$ に沿ったモノドロミーは $\begin{pmatrix} 1 & 2\pi i \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} =\exp \begin{pmatrix} 0 & 2\pi i \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix}$ で与えられる．（書き途中）

de Rham 基本群が canonical splitting $\tau \colon \mathbb{G}_\mathrm{m} \lra G_{\mathrm{dR}}$ を持つのは de Rham fiber functor が次数つきベクトル空間の圏を経由するから．[BGF17, 4.3, 4] 参照．

[BGF17]	Burgos-Gil, J., Fresán, J. “Multiple zeta values: from numbers to motives.” Clay Mathematics Proceedings, to appear 379 (2017): 4. http://javier.fresan.perso.math.cnrs.fr/mzv.pdf
[Bou72]	Bourbaki, N. Groupes et Algèbres de Lie: chapitres 2 et 3. Paris: Hermann, 1972.
[CLS99]	Chiarellotto, B., Le Stum, B. F-isocristaux unipotents. Compositio Mathematica 116, 81–110 (1999). https://doi.org/10.1023/A:1000602824628
[Del89]	Deligne, P.P. (1989). Le Groupe Fondamental de la Droite Projective Moins Trois Points. In: Ihara, Y., Ribet, K., Serre, JP. (eds) Galois Groups over $\mathbb{Q}$ . Mathematical Sciences Research Institute Publications, vol 16. Springer, New York, NY. https://doi.org/10.1007/978-1-4613-9649-9_3