行列演算に関する備忘録

投稿日：2026/9/14

2 次冪単行列の対称冪

$V=\langle e_0, e_1\rangle$ とすると $\sym^n V = \langle e_0^pe_1^{n-p} \mid 0 \leq p \leq n\rangle$ であり，

$$\sym^n \varphi(e_0^pe_1^{n-p}) = (e_0 + \alpha e_1)^pe_1^{n-p} = \sum_{i=0}^p \binom{p}{i}\alpha^i e_0^i e_1^{n-i}$$

であるので，

$$\begin{align*} &\sym^n \varphi = \left(\binom{n-j}{i-j}\alpha^{i-j}\right)_{0\leq i,\ j \leq n} \\ &\quad= \begin{pmatrix} \binom{n}{0} & 0 && & & \\ \binom{n}{1}\alpha & \binom{n-1}{0} &\ddots& & &\\ \binom{n}{2}\alpha^2 & \binom{n-1}{1}\alpha & \ddots& \ddots& &\\ \vdots & \vdots && \ddots&0 & \\ \binom{n}{n-1}\alpha^{n-1} & \binom{n-1}{n-2}\alpha^{n-2} &\cdots& \cdots & \binom{1}{0} &0\\ \binom{n}{n}\alpha^n & \binom{n-1}{n-1}\alpha^{n-1} &\cdots& \cdots & \binom{1}{1}\alpha &\binom{0}{0}\\ \end{pmatrix}\\ &\quad = \begin{pmatrix} n! & & \\ & \ddots & \\ & & 0! \end{pmatrix}^{-1} \exp \begin{pmatrix} 0 & & & \\ \alpha & \ddots & & \\ & \ddots & 0& \\ 0 & & \alpha & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} n! & & \\ & \ddots & \\ & & 0! \end{pmatrix} \end{align*}$$

が成り立つ．実際，$\mathrm{ad}(\mathrm{diag}(n!, \dots, 0!))(\sym^n \varphi)$ の $(p,q)$ 成分は

$$\sum_{i,\ j} (n-p)!\delta_{p,i}\cdot \binom{n-j}{i-j}\alpha^{i-j}\cdot (n-j)!^{-1}\delta_{j,q} = \frac{\alpha^{p-q}}{(p-q)!}$$

と計算できるので，

$$\begin{pmatrix} n! & & \\ & \ddots & \\ & & 0! \end{pmatrix}\left(\sym^n \varphi\right)\begin{pmatrix} n! & & \\ & \ddots & \\ & & 0! \end{pmatrix}^{-1} = \exp \begin{pmatrix} 0 & & & \\ \alpha & \ddots & & \\ & \ddots & 0& \\ 0 & & \alpha & 0 \end{pmatrix}$$

が得られる．

備考．Beilinson–Deligne. Interprétation motivique de la conjecture de Zagier reliant polylogarithmes et régulateurs を読んでいる時に同様の行列が出てきたので計算した．具体的には，polylogarithm を生み出すモチーフ（或いは混合 Hodge 構造）は Kummer torsor（$\Q(0)$ の $\Q(1)$ による拡大）の対称冪によって $\Q(0)$ を拡大したものなので，その表現行列の一部に如上の行列が現れる．