全単射な étale 被覆は同型か？

投稿日：2024/11/12

命題

$Y$ を代数閉体 $k$ 上有限型なスキームとし， $f\colon X\to Y$ を全単射な étale 被覆とする．このとき $f$ は同型射である．

Étale かつ radiciel ならば開移入であるので (下記)， $f$ が radiciel であることを示せば十分である．

命題: [SGA I, 5.1]

Soit $f\colon X \to Y$ un morphisme de type fini. Pour que $f$ soit une immersion ouverte, il faut et il suffit que ce soit un morphisme étale et radiciel.

$\Delta_{X/Y}\ \colon X \to X \times_Y X$ を対角射とし，これが全射であることを示す． $X \times_Y X$ は Jacobson スキームであるので， $X \times_Y X$ の任意の閉点が $\Delta_{X/Y}$ の像に含まれていることを示せば十分である (Jacobson スキームの定義や一般論は [EGA IV₃, Chapitre 10] などを参照)． $X$ , $Y$ , $X\times_Y X$ は代数閉体 $k$ 上有限型なスキームなので，これらの閉点を考えることは $k$ 有理点を考えることと等しいことに注意する． $X\times_Y X$ の $k$ 有理点は $X$ の $k$ 有理点 $x,y$ で $f(x)=f(y)$ となるものを用いて $(x,y)$ と表されるが， $f$ の全単射性より $f(x)=f(y)$ ならば $x=y$ である．従って $(x,y)$ は $\Delta_{X/Y}$ の像に含まれている．

如上以外の場合の反例: $\spec \Q(\sqrt{-1}) \to \spec\Q$ , $\spec \Z[\sqrt{-1}]_{(3)} \to \spec \Z_{(3)}$ など．

参考文献

[EGA IV₃] Grothendieck, A. Éléments de géométrie algébrique : IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Troisième partie. Publications mathématiques de l’I.H.É.S 28. 1966.
[SGA I] ———. Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie : Revêtements étales et groupe fondamental. Lecture notes in mathematics 224, Springer-Verlag. 1971.