準 Abel 多様体の完全列はその torus/Abelian part の完全列を導く

投稿日：2025/10/14

$k$ を標数 0 の代数閉体とする（もしかしたらもう少し緩められるかもしれないが，取り敢えずこの設定で考える）． $k$ 上の可換代数群の圏は Abel 圏である（この事実は一般の体上で成立する [Mil, 5.62]）．以下，完全列などは全てこの圏において考えることとする．準 Abel 多様体 (semi-abelian variety) とは Abel 多様体をトーラスによって拡大したもの，即ち代数群 $G$ であって，

\begin{align*} 0 \to T \to G \to A \to 0 \end{align*}

が完全列となるようなトーラス $T$ と Abel 多様体 $A$ が存在するものである． $T$ は $G$ の極大トーラスであり， $T$ と $A$ は $G$ から一意的に定まる． $T$ を $G$ の torus part， $A$ を $G$ の abelian part と呼ぶ．次の命題を示したい．

命題

準 Abel 多様体からなる完全列

\begin{align*} 0\to G_1 \to G_2 \to G_3 \to 0 \end{align*}

が与えられたとする． $G_i$ の torus part と abelian part をそれぞれ $T_i$ ， $A_i$ とすると，（適切に射を定めると）図式

\begin{CD} @. 0 @. 0 @. 0 \\ @. @VVV @VVV @VVV\\ 0 @>>> T_1 @>>> G_1 @>>> A_1 @>>> 0\\ @. @VVV @VVV @VVV\\ 0 @>>> T_2 @>>> G_2 @>>> A_2 @>>> 0\\ @. @VVV @VVV @VVV\\ 0 @>>> T_3 @>>> G_3 @>>> A_3 @>>> 0\\ @. @VVV @VVV @VVV\\ @. 0 @. 0 @. 0 \end{CD}

の全ての行と列は完全であり，全ての四角形は可換である．

証明

一般に，トーラスから Abel 多様体への代数群としての射の像は，Abel 多様体の閉部分群なので proper だが，トーラスの商なので affine かつ連結でもある [Mil, 5.29, 5.59]．このような代数群は 0 しか存在しないので，トーラスから Abel 多様体への射は零射以外存在しない．従って $T_i \to G_i \to G_{i+1} \to A_{i+1}$ は零射であるので，核と余核の普遍性から上の図式を可換にする $T_i \to T_{i+1}$ 及び $A_i \to A_{i+1}$ が存在する．

$T_1 \to T_2$ が単射であることと $A_2 \to A_3$ が全射であること， $T_1 \to T_2 \to T_3$ が零射であることは明らか．従って $T_1 \subseteq \ker(T_2\to T_3) = G_1 \cap T_2$ である．非自明な unipotent subgroup を含まない代数群はトーラスであるので [Mil, 17.25]， $T_2$ がトーラスであることから $G_1 \cap T_2$ もトーラスであることがわかる． $T_1$ は $G_1$ に含まれる極大トーラスであるので， $T_1 = G_1 \cap T_2$ である．従って左の列は $T_2$ において完全である．

下の 2 行に対して蛇の補題を適用すると，完全列

\begin{align*} A_1 \to \coker(T_2 \to T_3) \to 0 \end{align*}

が得られる．ここで $\coker(T_2 \to T_3)$ は affine であるが，proper variety から affine variety への射は定数しかないので， $A_1 \to \coker(T_2 \to T_3)$ は零射である．従って $\coker(T_2 \to T_3)=0$ ，即ち $T_2 \to T_3$ は全射である．

左の 2 列に対して蛇の補題を適用すれば右の列の完全性も得られる．

参考文献

[Mil] Milne, J. S. Algebraic Groups.