Huber–Wüstholz, Transcendence and linear relations of 1-periods, 2022

投稿日：2025/10/15

自分のための粗雑な覚え書きなので誤りが含まれている可能性が高いです．

指摘・行間

• Lemma 7.9. $FV$ は exact であることを仮定しないといけない．

• Lemma 8.9. $L \to M^\natural$ の単射性は，$[L \to \mathbb{G}_a^{\mathop{\mathrm{rank}} L}\oplus G]$（$L$ の $i$ 番目の基底 $l_i$ を $(e_i, u(l_i))$ に移す）が $L \to M^\natural$ を経由することから従う．

• Proposition 8.21. “By the universal property of $M_i^\natural$ this induces morphisms $M_i^\natural \to H_i$, compatible with the morphisms to/from $M^\natural$” の compatibility は少し非自明．以下 $E(-) = \ext^1(-, \mathbb{G}_a)^\vee$ とする．次の図式を考える．

  $$\begin{CD} 0 @. 0 @. 0 @. 0 \\ @VVV @VVV @VVV @VVV \\ V_1 @<<< E(M_1) @>>> E(M) @= E(M)\\ @VVV @VVV @VVV @VVV \\ H_1 @<{(\natural)}<< M_1^\natural @>{(\natural)}>> G_1 \times_{G} M^\natural @>>> M^\natural\\ @VVV @VVV @VVV @VVV \\ G_1 @= G_1 @= G_1 @>>> G\\ @VVV @VVV @VVV @VVV \\ 0 @. 0 @. 0 @. 0 \\ \end{CD}$$

  ここで $(\natural)$ で表した射は $(-)^\natural$ の普遍性から導かれるものである．$(-)^\natural$ がどのようにして関手になっていたかを思い出すと，今示すべきことは下の図式の可換性である．

  $$\begin{CD} M_1^\natural @>{(\natural)}>> H_1\\ @V{(\natural)}VV @VV{\text{given}}V\\ G_1 \times_{G} M^\natural @>>> M^\natural \end{CD}$$

  ファイバー積の普遍性から導かれる射 $H_1 \to G_1 \times_{G} M^\natural$ があり，普遍性からこれは左上の三角形を可換にする．右下の三角形はファイバー積の性質より可換である．

• Proposition 8.21. ”$\lie(H_1)_{\C} \to \lie(M^{\natural})_{\C}$ is the pull-back of $H_1 \to M^\natural$ via the exponential map” というのは誤り？　しかしここで主張したいこと（$T_{\mathrm{sing}}(H_1) = L_1 \times_{H_1^{\mathrm{an}}} \lie H_1^{\mathrm{an}}$）自体は diagram chasing で示せるので論証には問題ない（立方体の可換図式で上面，底面，前面が cartesian ならば背面も cartesian）．

命題など

• 可換代数群の圏は abelian である．Milne, Algebraic Groups, Thm. 5.62.
• affine algebraic group scheme の affine algebraic group scheme による拡大は再び affine．SGA 3, VI_B , 9.2 (viii)，第 1 巻 pp. 379–80.
• $\mathrm{Lie}$ の完全性．Milne, Lie Algebras, Algebraic Groups, and Lie Groups, 3.29.
• 代数群の完全列の左右が連結ならば中も連結．連結の商は連結．Milne, Algebraic Groups, 5.59.
• affine algebraic group の商は affine．Milne, Algebraic Groups, 5.29.
• 代数群の準同型定理．Milne, Algebraic Groups, 5.39.
• non trivial unipotent subgroup variety を含まない algebraic group は torus．Milne, Algebraic Groups, 17.25.
• 準 Abel 多様体の完全列はその torus/Abelian part の完全列を導く．Lemma 8.10 の証明で必要．
• 1-motive の実現に混合 Hodge 構造が入ることの証明は Pavia の Universal extensions and de Rham realizations の 3.2 節に詳しい．

参考資料

• 代数群（群スキーム関連）に関して．
  • SGA 3
  • Milne, Algebraic Groups.
  • Milne, Lie Algebras, Algebraic Groups, and Lie Groups.
• 複素数体上の semi-abelian variety については Nevanlinna Theory in Several Complex Variables and Diophantine Approximation に少し書いてある．
• filtered object に関して．
  • Deligne, Théorie de Hodge : II.
  • Stacks Project 12.19 [0120].
  • image と coimage が同型でない例．Stack Project 12.3.13 [0108].
• Deligne の 1-motive に関して．
  • Deligne, Théorie de Hodge : III
  • Barbieri-Viale, Kahn, On the derived category of 1-motives