Ayoub, Une version relative de la conjecture des périodes de Kontsevich-Zagier, 2015

投稿日：2025/11/19

読んでいる途中で思ったことなどを粗雑に書き留めたものなので，誤りや不足などを多く含み得ます．

目次

メモ

2.1. Rappels sur les motifs des schémas.

• 概説的な内容として [Ayo14d] が読みやすく参考になる．
• Voevodsky motive に関しては [VSF00] の第 5 章や [MVW06] などを参照すると良い．
• モデル圏に関して．
  • [Ayo07] の 4.1–3 節で Ayoub 自身が必要なモデル圏論について詳しく解説している．
  • モデル圏における spectra や Bousfield 局所化については [Hov01] に書かれている．但し function complex については詳しく書かれていないので [Hov99] の第 5 章などを参照すると良い．
  • function complex と holim, hocolim は可換 [Hir03, 19.4.4]．
  • 非有界複体の圏に入る projective model structure については [CM02] を参照．
  • $\cat{DM}^{\mathrm{eff}}(S)$ に入る monoidal structure は $\mathbb{Q}\cat{-Vect}$ の monoidal structure から誘導されるものではなく，Day convolution というテンソル積によって定まるものであることに注意．この symmetric monoidal structure では米田埋め込みが monoidal functor になる．cf. enriched Yoneda lemma

2.2. Rappels sur les motifs des variétés rigides.

• リジッド幾何学に関しては [Ber96] の 0 章を読んで，後は使いながら慣れていけば良いだろうと先生に言われた．
• [Ayo15] の 1 章にも必要なリジッド幾何学に関して書かれている．
• rigid variety の finite corresopndence の圏 $\cat{RigCor}(k)$ などの構成は [Ayo15] の 2.2 節に書いてある．
  • ここに書かれている fh 位相を用いた議論は [SV69] の類似．同論文では scheme の圏上の qfh 位相を用いて同様の結果を示している（定理 6.7）．
• この節で非自明なのは通常のスキームの場合と同様の finite correspondence の圏が rigid variety に対しても定まるということで，一度それが定まれば後はスキームの場合と全く同じ formalism．
• $\cat{RigDM}$ の構成は [Ayo15] の 2.5.15 以降．

2.3. Le foncteur « motif proche ».

• 生成対象のコンパクト性は [Ayo15, 1.2.34] 参照．

2.4. La réalisation de Betti.

• variétés analytiques complexes, lisses, dénombrables à l’infini et possédant un nombre fini de composantes connexes って複素多様体と同じではないのか？
• foncteur « cycles proches » topologique の定義は定理 2.18 の証明に書いてある（どうせ書くならここに書いてくれ！）．

2.5. La réalisation de Betti tangentielle.

• fortement dualisables の定義は例えば [HMS17, 8.3.1] を参照．
• 複素解析空間 $V$ に対して，
  • $\sheaf{F} \in \cat{Shv}(V, \Lambda)$ が fortement dualisable $\Leftrightarrow$ $\sheaf{F}$ は local system [Ayo14c, 2.45]．
  • $\sheaf{F}^\bullet \in \cat{D}(\cat{Shv}(V, \Lambda))$ が fortement dualisable $\Leftrightarrow$ $\displaystyle \bigoplus_{n\in\mathbb{Z}} \homo^q(\sheaf{F}^\bullet)$ は local system [Ayo14c, 2.46]．

2.6. Un modèle explicite du foncteur $\mathrm{TgB}^\ast$, première partie.

• pro-object の Hom は例えば $n$Lab s.v. “pro-object” を参照．
• 定理 2.24 の証明．
  • Étape 2. $\{\mathbb{Q}_{\mathrm{tr}}(X) \mid X \in \cat{Sm}/k\}$ は $\cat{DM}^\mathrm{eff}(k)$ の生成系 [CD19, 11.1.b], [MVW, 9.4]．
  • Étape 5. 式 (47) の左辺と右辺で $-$ の使い方が違うことに注意．左辺は自由変数だが右辺は束縛変数である．

2.7. Un modèle explicite du foncteur $\mathrm{TgB}^\ast$, deuxième partie.

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3.1. Les algèbres de Hopf motiviques de $k$ et $F$.

• monoidal functor から Hopf 代数を構成する方法は [Ayo14a] の第 1 節を参照．
• produit tensoriel semi-direct は [Ayo14b] の 2.1.1 節を参照．
• $B$ が dualisable ならば [Ayo14b] の仮定 1.40 は満たされる．
• Betti 実現を計算するときに $\cat{D}(\mathbb{Q})$ における simplicial object の homotopy colimit を取る必要がある（[Ayo10, Remarque 1.9]）が，実用上出てくる複体は殆どが下に有界な（どころか 0 次に concentrate している）ものなので，Dold–Kan 対応で $\mathbb{Q}\cat{-Vect}_{\Delta}$ の対象と見做し，bisimplicial set の homotopy colimit が diagonal になること（例えば $n$Lab）を使えば計算できる．
• Tate object の Betti 実現は球面を 6 つの開半球によって覆う開被覆の Čech nerve で計算すれば良い．
• $\cat{quDM}(k) \hookrightarrow \cat{DM}(\mathbb{G}_{\mathrm{m}, k})$ が右随伴を持つことは [Nee01, 8.4.4] などから分かる．
• 体上の可換 Hopf 代数の単射 $A \to B$ は忠実平坦 [Mil12, 11.1]．しかし，可換でない場合には反例がある [Schau00]．

3.2. Les groupes de Galois motiviques de $k$ et $F$.

3.3. Reformulation d’un résultat de [5].

• proalgebraic completion については [BLMM02] を参照．

3.4. Application au groupe de Galois motivique relatif de $F/k$.

• 補題 3.8 の証明では [Ayo15] の極限としてかけるスキーム上のモチーフに関する 1.A 節の結果を使う．

3.5. Calculs de torseurs d’isomorphismes, première partie.

• この節は [Ayo14a] の 2.3.1 節を要約したようなものなので，そちらを読む方が良い．
• motivic de Rham complex の構成は [LW07] を参照．[LW07] は $\Omega^\bullet_{/k}$ が sheaf with transfer になることを示しているが，実際のところ transfer の構成はこの論文を読むに当たっては殆ど必要ない．
• [Ayo14a, 2.88]
  • « Le complexe de préfaisceaux de $k$-espaces vectoriels $\Omega^\bullet_{/k}$ est $\mathbb{A}^1$-local. » は $\cat{Ho}_{\mathrm{Nis}}(\cat{Cpl}(\cat{PShv}(\cat{Sm}/k)))$ において $\mathbb{A}^1$-local という意味．(b) も同様．
  • （標数 0 での）de Rham コホモロジーの $\mathbb{A}^1$ 不変性は [Stacks, 0FUI] を参照．
• $(K^\bullet[n])_d = K^{n-d}$.

4.1. Sur la correspondance de Riemann-Hilbert.

• この節で定義されている $\mathrm{Sol}$ という関手は通常は水平切断と呼ばれるものであり，解複体の双対になっている．（双対に入れる $\mathcal{D}_U$ 加群の構造から，この作用による水平切断が $\hom_{\mathcal{D}_U}(\mathcal{M}, \mathcal{O}_U)$ と等しい．）
• regular singularity に制限するのは，$\mathcal{D}_\mathbb{C}/(\partial - 1)\mathcal{D}_\mathbb{C}$ のようなものを除く為．解析的な場合，このようなものも自明化されてしまう．
• Corollaire 4.5 の右辺は恐らく $\mathrm{Pro}(\widehat{\cat{LS}}(U^\mathrm{an}))$ における hom set を表していると思われる．

4.2. Réalisation de Betti et connexions de Gauss–Manin.

• $\cat{DM}(U)$ において dualisable な $M \in \cat{DM}^{\mathrm{eff}}(U)$ に対して $\mathrm{dR}_U(M)$ が有限生成射影的 $\mathcal{O}(U)$ 加群であることを示すためには次のように議論すれば良い．

  まず，上のように定義した de Rham 実現関手の導来版を derived Hom によって

  $$\mathbf{R}\mathrm{dR}_U := \mathbf{R}\mathrm{Hom}_{\cat{DM}^\mathrm{eff}(U)}(-, \Omega^\bullet_{/U}) \colon \cat{DM}^\mathrm{eff}(U) \to \cat{D}(\sheaf{O}(U))^\opp$$

  と定義すると，これは monoidal functor になっている．何故ならば，$X, Y \in \cat{Sm}/U$ に対しては

  $$\begin{align*} \mathbf{R}\mathrm{dR}_U(X \times Y) &=\mathbf{R}\mathrm{Hom}_{\cat{DM}^\mathrm{eff}(U)}(X \times Y, \Omega^\bullet_{/U})\\ &\overset{(1)}{\cong} \mathbf{R}\mathrm{Hom}_{\cat{D}(U)}(X \times Y, \Omega^\bullet_{/U})\\ &\cong \mathbf{R}\Gamma(X \times Y, \Omega^\bullet_{/U})\\ &\overset{(2)}{\cong} \mathbf{R}\Gamma(X, \Omega^\bullet_{/U}) \overset{\cat{L}}{\tensor_{\mathcal{O}(U)}} \mathbf{R}\Gamma(Y, \Omega^\bullet_{/U})\\ &=\mathbf{R}\mathrm{dR}_U(X) \overset{\cat{L}}{\tensor_{\mathcal{O}(U)}} \mathbf{R}\mathrm{dR}_U(Y) \end{align*}$$

  が成り立つ．ここで (1) は $\Omega^\bullet_{/U}$ が（$\cat{Ho}_{\mathrm{Nis}}\cat{Cpl}(\cat{PShv}(\cat{Cor}/U))$ において）$\mathbb{A}^1$-local であること（[Ayo14a, 2.88]）を用いており，(2) は代数的 de Rham コホモロジーに対する Künneth 公式を用いている．また，$\mathbf{R}\mathrm{dR}_U$ が monoidal になる対象全体のなす部分圏は直和で閉じた三角圏を為すので，表現可能なモチーフに対して $\mathbf{R}\mathrm{dR}_U$ が monoidal であれば全てのモチーフに対しても monoidal である．また，$\mathbf{R}\mathrm{dR}_U$ は Tate object を tensor invertible な対象に移す為，$\cat{DM}(U)$ を経由する．従って，もしも $M \in \cat{DM}^\mathrm{eff}(U)$ が $\cat{DM}(U)$ において dualisable であれば，$\mathbf{R}\mathrm{dR}_U(M)$ は $\cat{D}(\mathcal{O}(U))$ における dualisable object 即ち perfect complex になる．特に，この複体の各々のコホモロジーは $\mathcal{O}(U)$ 加群として有限生成である．また，これらの加群は $\mathcal{D}(U)$ 作用を持っていたので，自動的に射影的となる．

• Théorème 4.11 の証明の (143) の最後の同型は

  $$\begin{align*} &E^{p,q}_2 = \mathbf{R}^p\mathrm{Hom}_{\cat{Shv}(U^\mathrm{an})}(\mathcal{H}^q(\mathcal{O}_{U^\mathrm{an}} \tensor_{\mathbb{Q}} \mathrm{Bti}_U^\ast(M)), \mathcal{O}_{U^\mathrm{an}})\\ &\quad \Rightarrow \mathbf{R}^{p+q}\mathrm{Hom}_{\cat{Cpl}(\cat{Shv}(U^\mathrm{an}))}(\mathcal{O}_{U^\mathrm{an}} \tensor_{\mathbb{Q}} \mathrm{Bti}_U^\ast(M), \mathcal{O}_{U^\mathrm{an}}) \end{align*}$$

  というスペクトル系列を考えている．これは $F=\mathrm{Hom}_{\cat{Shv}(U^\mathrm{an})}(-, \mathcal{O}_{U^\mathrm{an}})$ という関手に対する hypercohomology spectral sequence

  $$E^{p,q}_2 = \cat{R}^pF(\mathcal{H}^q C^\bullet) \Rightarrow \cat{R}^{p+q}F(C^\bullet)$$

  である．

• $\mathcal{M}$ が有限階数の局所自由 $\mathcal{O}_U$ 加群であれば，

  $$\hom_{\mathcal{O}_{U^\mathrm{an}}}(\mathcal{M},-) = \Gamma(U^\mathrm{an}, \mathcal{M}^\vee \otimes -)$$

  であり，今 $U^\mathrm{an}$ は Stein 多様体なので $\Gamma(U^\mathrm{an}, -)$ は完全，また $\mathcal{M}^\vee \otimes -$ も完全なので，それらの合成も完全である．従って，

  $$\ext_{\mathcal{O}_{U^\mathrm{an}}}^{p}(\mathcal{M}, -) = 0\quad (p \geq 1)$$

  である．

• 推移射が単射であるような $U^\mathrm{an}$ 上の局所系の帰納系 $(L_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$ に対して，$\mathcal{M}_\lambda := \mathcal{O}_{U^\mathrm{an}} \tensor_{\mathbb{Q}} L_\lambda$ とすると，$(\hom_{\mathcal{O}_{U^\mathrm{an}}}(\mathcal{M}_\lambda, \mathcal{O}_{U^\mathrm{an}}))_{\lambda \in \Lambda}$ は Mittag-Leffler 系になる．これは，次のようにして示される．各々の推移射 $\varphi_{\lambda\mu} \colon L_\lambda \to L_\mu$ に対して，それの余核を $L'$ とすると，これも局所系になる．従って，$\mathcal{M}' =\mathcal{O}_{U^\mathrm{an}} \tensor_{\mathbb{Q}} L'$　とすれば有限階数局所自由 $\mathcal{O}_{U^\mathrm{an}}$ 加群の完全列

  $$0 \to \mathcal{M}_\lambda \to \mathcal{M}_\mu \to \mathcal{M}' \to 0$$

  が得られる．ここで，先ほどと同様の理由によって $\ext_{\mathcal{O}_{U^\mathrm{an}}}^1(\mathcal{M}', \mathcal{M}_\lambda) = 0$ なので，この完全列は分裂する．従って

  $$\hom_{\mathcal{O}_{U^\mathrm{an}}}(\mathcal{M}_\mu, \mathcal{O}_{U^\mathrm{an}}) \to \hom_{\mathcal{O}_{U^\mathrm{an}}}(\mathcal{M}_\lambda, \mathcal{O}_{U^\mathrm{an}})$$

  は全射である．

• $\mathrm{dR}_U^{\mathrm{GM}}(\hocolim_{i\in I}M_i) \cong \lim_{i\in I}\mathrm{dR}_U^{\mathrm{GM}}(M_i)$ を示すには次のようにすれば良い．まず，導来版は homotopy colimit と可換なので，

  $$\cat{R}\mathrm{dR}_U^{\mathrm{GM}}(\hocolim_{i\in I}M_i) \cong \holim_{i\in I}\cat{R}\mathrm{dR}_U^{\mathrm{GM}}(M_i)$$

  が成立する．ここで spectral sequence

  $$\begin{align*} &E^{p,q}_2 = \cat{R}^p\lim_{i \in I} \cat{R}^q\mathrm{dR}_U^{\mathrm{GM}}(M_i)\\ &\quad\Rightarrow \mathrm{H}^{p+q}(\holim_{i\in I}\cat{R}\mathrm{dR}_U^{\mathrm{GM}}(M_i)) \cong \cat{R}^{p+q}\mathrm{dR}_U^{\mathrm{GM}}(\hocolim_{i\in I}M_i) \end{align*}$$

  の $p+q=0$ となるところを考えると，$(\cat{R}^q\mathrm{dR}_U^{\mathrm{GM}}(M_i))_{i \in I}$ が Mittag-Leffler 系である（このことは $\cat{R}^q\mathrm{dR}_U^{\mathrm{GM}}(M_i)$ が $\mathcal{D}(U^\mathrm{an})$ 加群として artinian であることから分かる）ことから，$\cat{R}^p\lim_{i \in I}$ は $q \neq 0$ で消える．これによって求める同型が得られる．

• $\mathbb{C}$ 上の affine 多様体 $X$ と，$X$ 上の連接層 $\mathcal{F}$ に対して，

  $$\begin{align*} \Gamma(X, \mathcal{F}) \tensor_{\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_{X^\mathrm{an}} \cong \Gamma(X^\mathrm{an}, \mathcal{F}^\mathrm{an}) \end{align*}$$

  が成立する．特に，$\mathcal{F} = \underline{\hom}_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{M}, \mathcal{N})$（$\mathcal{M}$, $\mathcal{N}$ は連接層）とすれば，

  $$\hom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{M}, \mathcal{N}) \tensor_{\mathcal{O}_U} \mathcal{O}_{U^\mathrm{an}} \cong \hom_{\mathcal{O}_{X^\mathrm{an}}}(\mathcal{M}^\mathrm{an}, \mathcal{N}^\mathrm{an})$$

  が成立する．

  $\mathcal{F}$ は連接的なので，完全列

  $$\mathcal{O}_X^{\oplus p} \to \mathcal{O}_X^{\oplus q} \to \mathcal{F} \to 0$$

  が存在する．$X$ は affine なので，大域切断を取る関手は完全であり，しかも $\mathcal{O}(X^\mathrm{an})$ は $\mathcal{O}(X)$ 上平坦なので，

  $$\mathcal{O}(X^\mathrm{an})^{\oplus p} \to \mathcal{O}(X^\mathrm{an})^{\oplus q} \to \mathcal{F}(X) \tensor_{\mathcal{O}(X)} \mathcal{O}({X^\mathrm{an}}) \to 0$$

  も完全である．ここで，最初の完全列を analytify してから大域切断を取る（$X^\mathrm{an}$ は Stein 多様体なので，Cartan の定理 B より大域切断を取る関手は完全である）と，完全列

  $$\mathcal{O}(X^\mathrm{an})^{\oplus p} \to \mathcal{O}(X^\mathrm{an})^{\oplus q} \to \mathcal{F}^\mathrm{an}(X^\mathrm{an}) \to 0$$

  が得られる．二つの完全列を比較すれば望む結果が得られる．

参考文献

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[Ayo14c]	———. “La réalisation étale et les opérations de Grothendieck.” Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. (4) 47 (2014), no. 1, 1-145. https://user.math.uzh.ch/ayoub/PDF-Files/Realisation-Etale.pdf
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[Ayo15]	———. “Motifs des variétés analytiques rigides.” Mém. Soc. Math. Fr. (N.S.) (2015), no. 140-141, vi+386. https://user.math.uzh.ch/ayoub/PDF-Files/MotVarRig.pdf
[Ber96]	Berthelot, Pierre. Cohomologie rigide et cohomologie rigide à supports propres Première partie. prépublication. 1996. https://www.wstein.org/people/berthelo/publis/Cohomologie_Rigide_I.pdf
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[HMS17]	Huber, Annette, and Stefan Müller-Stach. Periods and Nori motives. Vol. 65. Springer (2017).
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[Mil12]	Milne, J. S. Basic Theory of Affine Group Schemes. https://www.jmilne.org/math/CourseNotes/AGS.pdf
[MVW06]	Mazza, Carlo, Voevodsky, Vladimir, and Weibel, Charles A. Lecture notes on motivic cohomology. American Mathematical Soc., 2006. https://www.claymath.org/library/monographs/cmim02.pdf
[Schau00]	Schauenburg, P. Faithful flatness over Hopf subalgebras: counterexamples, Lecture Notes in Pure and Appl. Math. 210 (2000), 331-344.
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[SV96]	Suslin, A., Voevodsky, V. Singular homology of abstract algebraic varieties. Invent Math 123, 61–94
[VSF00]	Voevodsky, Vladimir, Andrei Suslin, and Eric M. Friedlander. Cycles, transfers, and motivic homology theories.(am-143). No. 143. Princeton university press, 2000.