微分方程式と接続

投稿日：2026/5/4

数学

微分方程式

接続

メモ

微分方程式は全て適当な 1 次元複素領域上で考えるとする．

線型常微分方程式と接続

線型常微分方程式

f(n)+an−1(z)f(n−1)+⋯+a1(z)f′+a0(z)f=0 f^{(n)} + a_{n-1}(z)f^{(n-1)} +\cdots + a_1(z)f' + a_0(z)f = 0

の解を水平切断に持つ接続は次のようにして作れる．E=O⊕n\sheaf{E} = \sheaf{O}^{\oplus n} とし，その標準基底を e0,…,en−1e_0,\dots,e_{n-1} と書くことにする．s=fe0+f′e1+⋯+f(n−1)en−1s = fe_0 + f'e_1 +\cdots + f^{(n-1)}e_{n-1} が E\sheaf{E} 上の接続 ∇ ⁣:E⟶Ω1⊗E\nabla \colon \sheaf{E} \lra \Omega^1 \otimes \sheaf{E} の水平切断であるとすると，Leibniz 則によって

0=∇(s)=df⊗e0+df′⊗e1+⋯+df(n−1)⊗en−1+f∇(e0)+f′∇(e1)+⋯+f(n−1)∇(en−1)=f′dz⊗e0+f′′dz⊗e1+⋯+f(n)dz⊗en−1+f∇(e0)+f′∇(e1)+⋯+f(n−1)∇(en−1)=f′dz⊗e0+f′′dz⊗e1+⋯+f(n−1)dz⊗en−2−(a0(z)fdz+a1(z)f′dz+⋯+an−1(z)f(n−1)dz)⊗en−1+f∇(e0)+f′∇(e1)+⋯+f(n−1)∇(en−1)\begin{align*} 0&=\nabla(s)\\ &= \mathrm{d}f\otimes e_0 + \mathrm{d}f' \otimes e_1 + \cdots + \mathrm{d}f^{(n-1)} \otimes e_{n-1}\\ &\qquad + f\nabla(e_0) + f'\nabla(e_1) +\cdots + f^{(n-1)}\nabla(e_{n-1})\\ &= f'\mathrm{d}z\otimes e_0 + f''\mathrm{d}z \otimes e_1 + \cdots + f^{(n)}\mathrm{d}z \otimes e_{n-1}\\ &\qquad + f\nabla(e_0) + f'\nabla(e_1) +\cdots + f^{(n-1)}\nabla(e_{n-1})\\ &= f'\mathrm{d}z\otimes e_0 + f''\mathrm{d}z \otimes e_1 + \cdots + f^{(n-1)}\mathrm{d}z \otimes e_{n-2}\\ &\qquad -(a_0(z)f\mathrm{d}z + a_1(z)f'\mathrm{d}z + \cdots + a_{n-1}(z)f^{(n-1)}\mathrm{d}z) \otimes e_{n-1}\\ &\qquad + f\nabla(e_0) + f'\nabla(e_1) +\cdots + f^{(n-1)}\nabla(e_{n-1})\\ \end{align*}

となるので

∇(ei)={a0(z)dz⊗en−1(i=0),ai(z)dz⊗en−1−dz⊗ei−1(1≤i≤n−1)\nabla(e_i)=\begin{cases} a_0(z)\mathrm{d}z \otimes e_{n-1} & (i=0),\\ a_i(z)\mathrm{d}z \otimes e_{n-1} - \mathrm{d}z \otimes e_{i-1} & (1 \leq i \leq n-1) \end{cases}

とすれば，この接続が求めるものの一つである．∇=d+ω\nabla = \mathrm{d} + \omega とすると

ω=(0−dz0…000−dz…0⋮⋮⋱⋱⋮00…0−dza0(z)dza1(z)dz…an−2(z)dzan−1(z)dz)\omega = \begin{pmatrix} 0 & -\mathrm{d}z & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & -\mathrm{d}z & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & 0 & -\mathrm{d}z \\ a_0(z) \mathrm{d}z & a_1(z) \mathrm{d}z & \dots & a_{n-2}(z) \mathrm{d}z & a_{n-1}(z) \mathrm{d}z \end{pmatrix}

である．

例として log⁡z\log z を考えてみる．これは f′′+1zf′=0f''+\frac{1}{z}f'=0 の解なので，E=O⊕2\sheaf{E}=\sheaf{O}^{\oplus 2} として

∇(e0)=0,∇(e1)=1zdz⊗e1−dz⊗e0 \nabla(e_0) = 0,\quad \nabla(e_1) = \frac{1}{z}\mathrm{d}z\otimes e_1 - \mathrm{d}z\otimes e_0

とすれば良い．即ち，接続行列は

ω=(0−dz0dz/z)\omega = \begin{pmatrix} 0 & -\mathrm{d}z \\ 0 & \mathrm{d}z/z \\ \end{pmatrix}

である．しかし，E\sheaf{E} の新しい基底として f0=e0f_0 = e_0, f1=1ze1f_1 = \frac{1}{z}e_1 を取ると，

∇(f1)=−1z2dz⊗e1+1z(dzz⊗e1−dz⊗e0)=−dzz⊗f0 \nabla(f_1) = -\frac{1}{z^2}\mathrm{d}z\otimes e_1 + \frac{1}{z}\left(\frac{\mathrm{d}z}{z} \otimes e_1 - \mathrm{d}z\otimes e_0\right) = -\frac{\mathrm{d}z}{z}\otimes f_0

であるので，この基底に関する接続行列は

ω=(0−dz/z00)\omega = \begin{pmatrix} 0 & -\mathrm{d}z/z \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix}

という unipotent な行列になる．従って log⁡z\log z は unipotent な接続によって与えられる．