備忘 — Seesaw theorem の証明に関する備忘録 [2024/9/24]

　森脇，川口，生駒『モーデル–ファルティングスの定理』の 2.6 節「アーベル多様体の基礎事項」の seesaw theorem の証明は少し行間が広いように思えたので，考えたことを記録しておく．以下では \(F\) は標数 0 の体とする．また，\(F\) 上の多様体とは \(F\) 上有限型な整スキームのことである．

定理 1: Seesaw theorem [MKI, 2.18]
　\(X, T\) を \(F\) 上の絶対既約な代数多様体，\(L\) を \(X\times T\) 上の直線束とし，\(X\) は \(F\) 上射影的と仮定する．このとき， $$T_1 = \left\{t \in T \mid L|_{X\times \{t\}} \text{ は自明}\right\}$$ は \(T\) のザリスキー閉集合である．さらに，\(T_1\) に被約部分スキームの構造を入れ，\(p_2\colon X\times T_1 \to T_1\) を射影とすると，ある \(T_1\) 上の直線束 \(M\) が存在して \(L|_{X\times T_1} \cong p_2^\ast M\) が成り立つ．

　先ず，次の補題が幾度か必要になるので予め引用しておく．

補題 2: Stacks 33.9.3
　\(k\) を体，\(X\) を固有 \(k\) スキームとする．
1–6. 略
7. \(X\) が絶対被約かつ絶対連結ならば \(H^0(X, \sheaf{O}_X) = k\) である．
8. \(X\) が絶対整ならば \(H^0(X, \sheaf{O}_X) = k\) である．
完全体上では単なる被約性から絶対被約性が従う (Stacks 33.6.3) ことから，特に今は標数 0 の体 \(F\) 上で考えているので，被約且つ絶対既約ならば絶対整である．これらを用いれば
\(X\times T_1 \to T_1\) の各ファイバー \(X\times\{t\}\) 上で \(L\) は自明であるから \(\dim_{\kappa(t)} H^0(X\times \{t\}, L|_{X\times\{t\}})=1\) である．
という箇所はすぐに導ける．

　その後の

自然な射 \(p_2^\ast M \to L\) (引用者注: \(M={p_2}_\ast L\)．Grauert の定理よりこれは直線束である) は各ファイバー上で自然な射 $$H^0(X\times \{t\}, L|_{X\times \{t\}}) \otimes \sheaf{O}_{X\times \{t\}} \to L|_{X\times \{t\}}$$ に一致し，\(L|_{X\times\{t\}}\) は自明なので \(p_2^\ast M \cong L\) となる．
という箇所は次のようにすれば分かる．

　先ず，\(X\) は \(F\) 上の射影多様体なので固有でもあり，従って \(p_2\colon X\times T_1 \to T_1\) は固有射なので，Descartes 図式 $$ \begin{array}{c} X\times\{t\} & \ra{p'_2} & t \\ \da{i'} & & \da{i} \\ X\times T_1 & \ra{p_2} & T_1 \end{array} $$ に関する固有基底変換定理 (例えば [Va, 25.1.6]) を考えれば $$ \begin{align*} (p_2^\ast{p_2}_\ast L)|_{X\times \{t\}} &= {i'}^\ast p_2^\ast{p_2}_\ast L \\ &\cong {p'_2}^\ast i^\ast {p_2}_\ast L \quad(\text{図式の可換性より．})\\ &\cong {p'_2}^\ast {p'_2}_\ast {i'}^\ast L \quad(\text{固有基底変換定理より．})\\ &= {p'_2}^\ast {p'_2}_\ast (L|_{X\times \{t\}}) \end{align*} $$ が得られる．ここで \({p'_2}_\ast (L|_{X\times \{t\}})\) はアフィンスキーム \(t = \spec \kappa(t)\) 上の準連節層なので $$ {p'_2}_\ast (L|_{X\times \{t\}}) = H^0(t, {p'_2}_\ast (L|_{X\times \{t\}}))^\sim = H^0(X\times \{t\}, L|_{X\times \{t\}})^\sim $$ である．従って \({p'_2}^\ast {p'_2}_\ast (L|_{X\times \{t\}})\) は，スキーム上の層の引き戻しの定義通り考えれば $$ \begin{align*} {p'_2}^\ast {p'_2}_\ast (L|_{X\times \{t\}}) &= {p'_2}^\ast H^0(X\times \{t\}, L|_{X\times \{t\}})^\sim\\ &= {p'_2}^{-1}H^0(X\times \{t\}, L|_{X\times \{t\}})^\sim \otimes_{{p'_2}^{-1}\sheaf{O}_t} \sheaf{O}_{X\times\{t\}}\\ &\cong H^0(X\times \{t\}, L|_{X\times \{t\}})\otimes_{\kappa(t)} \sheaf{O}_{X\times\{t\}} \end{align*} $$ となる．ここで \(H^0(X\times \{t\}, L|_{X\times \{t\}})\) 及び \({\kappa(t)}\) は \(X\times \{t\}\) 上の定数層として考えている．\(L|_{X\times \{t\}}\) が自明であることと補題 2 を用いればこの層が \(\sheaf{O}_{X\times\{t\}}\) と同型であることも分かる．

参考文献