備忘 — 巡回加群の \(\mathrm{Tor}_1, \mathrm{Ext}^1\) による平坦性・入射性・射影性判定 [2024/10/14]

証明

　平坦性が任意のイデアル \(I\) に対する包含写像 \(I \to A\) の単射性が保たれること ([AtM, 2.19], [Stacks, 10.39.5] などを参照) で特徴付けられることを用いて，\(0 \to I \to A \to A/I \to 0\) の長完全列を見ればすぐに分かる．詳細は [Stacks, 10.75.8] などを見よ．

証明

　1. が 2. を導くことは明らかであるので，逆を示せば良い．即ち，2. を仮定した上で，次のことを示す: 任意の \(A\) 加群 \(M\) とその部分 \(A\) 加群 \(M'\)，及び \(A\) 加群の射 \(\varphi \colon M' \to N\) に対して，\(A\) 加群の射 \(\tilde{\varphi}\colon M \to N\) で \(\tilde{\varphi}|_{M'}=\varphi\) となるものが存在する． $$ \begin{xy} \xymatrix { M'\ \ar@{>->}[r] \ar[d]_{\varphi}& M \ar@{.>}[dl]^{\tilde{\varphi}}\\ N } \end{xy} $$

　Zorn の補題を用いて \(\varphi\) が拡張されるような \(M\) の部分加群のうちで極大なものを構成し，それが \(M\) と一致することを示すという方針で証明する．集合 \(\Sigma\) を $$ \begin{align*} \Sigma = \{(L, (\psi\colon L\to N)) \mid M' \subseteq L \subseteq M, \psi|_{M'}=\varphi\} \end{align*} $$ と定める．そして，\((L_0, (\psi_0\colon L_0\to N)), (L_1, (\psi_1\colon L_1\to N)) \in \Sigma\) に対して $$ \begin{align*} (L_0, \psi_0) \leq (L_1, \psi_1) \Leftrightarrow L_0 \subseteq L_1\ \text{且つ}\ \psi_1|_{L_0}=\psi_0 \end{align*} $$ とすることによって \(\Sigma\) に半順序構造を入れる．\((M,\varphi)\in\Sigma\) であるので \(\Sigma\neq \emptyset\) である．また，\(\Sigma\) 内の任意の全順序部分集合に対して，その全ての元の合併を取ればそれがその全順序部分集合の上界を与えるので \(\Sigma\) は Zorn の補題の仮定を満たしており，従って極大元 \((\tilde{L}, \tilde{\psi})\) が存在する．

　如上の \((\tilde{L}, \tilde{\psi})\) に関して，実は \(\tilde{L}=M\) であることを背理法で証明しよう．或る \(m\in M \setminus \tilde{L}\) が取れたと仮定する．$A$ のイデアル $I$ を $$ \begin{align*} I = \{a \in A \mid am \in \tilde{L}\} \end{align*} $$ と定め，射 $f\colon I \to N$ を $$ \begin{align*} f(a) = \tilde{\psi}(am) \end{align*} $$ とする．このとき仮定より $f$ は或る $\tilde{f}\colon A \to N$ に拡張される．これを用いて $\tilde{\psi}'\colon \tilde{L}+Ax \to N$ を $$ \begin{align*} \tilde{\psi}'(l+am) = \tilde{\psi}(l)+\tilde{f}(a)\quad(l\in L,\ a\in A) \end{align*} $$ と定義する (これは well-defined である)．また，$\tilde{\psi}'|_{\tilde{L}} = \tilde{\psi}$ であるので $(\tilde{L}, \tilde{\psi})<(\tilde{L}+Am, \tilde{\psi}')$ となるが，これは $(\tilde{L}, \tilde{\psi})$ の極大性に反する．従って $\tilde{L}=M$ であるので，1. が示せた．

証明

証明

　$\Z$ の任意のイデアル $I$ は $I=0$ か $I=N\Z\ (N\in\Z_{\geq 1})$ という形をしているので，それぞれに関して $\ext_{\Z}^1(\Q, \Z/I)=0$ を示す．

　$I=0$ の場合，$\Z/I = \Z$ の入射分解は $$ \begin{align*} 0 \to \Z \to \Q \to \Q/\Z \to 0 \end{align*} $$ で与えられるので， $$ \begin{align*} \ext_{\Z}^1(\Q, \Z) = \frac{\hom_{\Z}(\Q, \Q/\Z)}{\im(\hom_{\Z}(\Q, \Q)\to\hom_{\Z}(\Q, \Q/\Z))} \end{align*} $$ であるが，$\Q\to\Q/\Z$ は必ず $\Q\to\Q$ に持ち上げられるので $\ext_{\Z}^1(\Q, \Z)=0$ である．

　$I=N\Z$ の場合，$\Z/I = \Z/N\Z$ の入射分解は $$ \begin{align*} 0 \to \Z/N\Z \xrightarrow{1\mapsto 1/N} \Q/\Z \xrightarrow{\times N} \Q/\Z \to 0 \end{align*} $$ で与えられ，先ほどと同様にして $\ext_{\Z}^1(\Q, \Z/N\Z)=0$ が分かる．

　$\Q$ が射影的ではないことは，次の可換図式を満たす $\Q \to \Z^{\oplus\Q}$ が存在しないことから分かる．但し $\Z^{\oplus\Q} \to \Q$ は $r \in \Q$ に対応する $\Z^{\oplus\Q}$ の標準基底の元を $r$ に移すことで定まる射である． $$ \begin{xy} \xymatrix { \Q \ar@{.>}[d]\ar[rd]^{\id_{\Q}}\\ \Z^{\oplus\Q} \ar@{->>}[r] & \Q } \end{xy} $$ 因みにこの例は「Noether 環上の有限生成平坦加群は射影的である」という事実の有限性を外した場合の反例を与えている．

証明

1. $\imply$ 2. $\imply$ 3.
　明らか．

3. $\imply$ 4.
　4. の条件を満たす完全列を取る．$Q$ の射影分解を $\cdots \to P_{n+1} \to P_n \to Q \to 0$ とすると， $$ \begin{align*} \cdots \to P_{n+1} \to P_n \to P_{n-1} \cdots \to P_1 \to P_0 \to M \to 0 \end{align*} $$ (ここで $P_n \to P_{n-1}$ は $Q$ を経由する射である) は $P$ の射影分解である．従って，任意の $A$ 加群 $N$ に対して $$ \begin{align*} \ext_A^1(Q,N) &= H^1(\hom_A(P_{\bullet+n},N))\\ &= H^{n+1}(\hom_A(P_{\bullet},N))\\ &= \ext_A^{n+1}(M,N)\\ &=0 \end{align*} $$ が成立するので，命題 4 より $Q$ は射影的である．

4. $\imply$ 1.
　$M$ の射影分解 $\cdots \to P_1 \to P_0 \to M \to 0$ を一つ取り，$Q=\ker(P_n\to P_{n-1})$ とすれば，4. の仮定よりこれは射影的であるので，$0 \to Q \to P_{n-1} \to \cdots \to P_0 \to M \to 0$ が長さ $n$ の $M$ の射影分解を与える．従って $\projd_A M \leq n$ である．

証明

　3. $\imply$ 4. のみを示す．それ以外は命題 5 と全く同じである．4. の条件を満たす完全列を取る．$J$ の入射分解を $0\to N \to I^n \to I^{n+1} \to \cdots$ とすると， $$ \begin{align*} 0\to N \to I^0 \to I^1 \to \cdots \to I^{n-1} \to I^n \to \cdots \end{align*} $$ (ここで $I^{n-1} \to I^n$ は $J$ を経由する射である) は $N$ の入射分解である．従って，任意の $A$ のイデアル $I$ に対して $$ \begin{align*} \ext_A^1(A/I,N) &= H^1(\hom_A(A/I, I^{\bullet +n}))\\ &= H^{n+1}(\hom_A(A/I, I^{\bullet}))\\ &= \ext_A^{n+1}(A/I,N)\\ &=0 \end{align*} $$ が成立するので，命題 3 より $J$ は入射的である．

証明

　左辺の値を $d$ とする．大域次元の定義より $\gld A \geq d$ は明らかなので，逆向きの不等号を示せば十分である．また，$d=\infty$ の時も明らかなので，$d<\infty$ である時を考える．

　命題 7 より，任意の $A$ 加群 $N$ に対して $\injd_A N \leq d$ であることを示せば十分である．任意の $A$ のイデアル $I$ に対して $\projd_A A/I \leq d$ であるので，命題 5 より $\ext_A^{d+1}(A/I, N)=0$ である．このとき命題 6 より $\injd_A N \leq d$ が分かる．