備忘 — 全単射な étale 被覆は同型か？ [2024/11/12]
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命題
$Y$ を代数閉体 $k$ 上有限型なスキームとし，$f\colon X\to Y$ を全単射な étale 被覆とする．このとき $f$ は同型射である．証明
Étale かつ radiciel ならば開移入であるので (下記)，$f$ が radiciel であることを示せば十分である．
命題: [SGA I, 5.1]
Soit $f\colon X \to Y$ un morphisme de type fini. Pour que $f$ soit une immersion ouverte, il faut et il suffit que ce soit un morphisme étale et radiciel.$\Delta_{X/Y}\ \colon X \to X \times_Y X$ を対角射とし，これが全射であることを示す．$X \times_Y X$ は Jacobson スキームであるので，$X \times_Y X$ の任意の閉点が $\Delta_{X/Y}$ の像に含まれていることを示せば十分である (Jacobson スキームの定義や一般論は [EGA IV3, Chapitre 10] などを参照)．$X$, $Y$, $X\times_Y X$ は代数閉体 $k$ 上有限型なスキームなので，これらの閉点を考えることは $k$ 有理点を考えることと等しいことに注意する．$X\times_Y X$ の $k$ 有理点は $X$ の $k$ 有理点 $x,y$ で $f(x)=f(y)$ となるものを用いて $(x,y)$ と表されるが，$f$ の全単射性より $f(x)=f(y)$ ならば $x=y$ である．従って $(x,y)$ は $\Delta_{X/Y}$ の像に含まれている．
参考文献
- [EGA IV3] Grothendieck, A. Éléments de géométrie algébrique : IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Troisième partie. Publications mathématiques de l’I.H.É.S 28. 1966.
- [SGA I] ———. Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie : Revêtements étales et groupe fondamental. Lecture notes in mathematics 224, Springer-Verlag. 1971.