備忘 — 平面曲線の変曲点 [2024/12/3]

　本記事を通して $k$ は代数閉体であるとする．

定義: 変曲点

　$f(x,y) \in k[x,y]$ が定める非特異平面曲線 $C$ 上の点 $(x_0,y_0)$ が $C$ の変曲点 (inflection point) であるとは， $$ \begin{align*} \length_{k[x,y]_{(x-x_0,y-y_0)}} (k[x,y]/(f(x,y), f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)))_{(x-x_0,y-y_0)} \geq 3 \end{align*} $$ であることである．$f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)=0$ は $(x_0, y_0)$ に於ける $C$ の接線であることに注意せよ．

命題

　$f(x,y) \in k[x,y]$ の零点集合 $C$ は非特異平面曲線であるとする．このとき，$(x_0, y_0)$ が $C$ の変曲点である為の必要十分条件は $$f_x(x_0, y_0)f_y(x,y) - f_x(x,y)f_y(x_0,y_0) \in \ideal{m}_{(x_0,y_0)}^2$$ である．但しここで $\ideal{m}_{(x_0,y_0)}$ は $C$ の $(x_0, y_0)$ に於ける極大イデアルである．

証明

　適宜平行移動することによって $(x_0,y_0) = (0,0)$ としても良い．$\displaystyle f(x,y) = \sum_{m,n \geq 0} a_{mn}x^my^n$ とする．$f(0,0)=0$ なので $a_{00}=0$ である．$f_x(0,0)\neq 0$ 即ち $a_{10}\neq 0$ の場合を考える ($f_y(0,0)\neq 0$ の場合も全く同様にして示せる)．このとき， $$ \begin{align*} &(k[x,y]/(f(x,y), f_x(0,0)x+f_y(0,0)y))_{(x,y)}\\ &\quad \cong k[y]_{(y)}/\left(f\left(-\frac{a_{01}}{a_{10}}y, y\right)\right)\\ &\quad = k[y]_{(y)}/\left(\frac{1}{a_{10}^2}(a_{20}a_{01}^2 - a_{11}a_{10}a_{01} + a_{02}a_{10}^2)y^2 + (\text{3 次以上の項})\right) \end{align*} $$ なので $\length_{k[x,y]_{(x,y)}} (k[x,y]/(f(x,y), f_x(0,0)x+f_y(0,0)y))_{(x,y)} \geq 3$ は $a_{20}a_{01}^2 - a_{11}a_{10}a_{01} + a_{02}a_{10}^2 = 0$ と同値である．

　他方で，$\displaystyle x-\frac{a_{01}}{a_{10}}y=0$ は $C$ の $(0,0)$ に於ける接線なので $\displaystyle x-\frac{a_{01}}{a_{10}}y \in \ideal{m}_{(0,0)}^2$ であることに注意すると， $$ \begin{align*} &f_x(0,0)f_y(x,y) - f_x(x,y)f_y(0,0) \\ &\quad = (a_{10}a_{11}-2a_{01}a_{20})x - (a_{01}a_{11}-2a_{10}a_{02})y + \text{(2 次以上の項)}\\ &\quad = \frac{2}{a_{10}}(a_{20}a_{01}^2 - a_{11}a_{10}a_{01} + a_{02}a_{10}^2)y + \text{(2 次以上の項)} \end{align*} $$ であるので，$f_x(0,0)f_y(x,y) - f_x(x,y)f_y(0,0) \in \ideal{m}_{(0,0)}^2$ も $a_{20}a_{01}^2 - a_{11}a_{10}a_{01} + a_{02}a_{10}^2 = 0$ と同値である．